베이즈 공식 (Bayes' formula)을 쉽게 이해해보자 1편 : P( A ∩ B ) = P( A | B ) P( B )

                                                              사진 출처 : 위키피디아

 

 

 

베이즈 공식 (Bayes' formula)을 이해하기 위해 우선 아래 식에 대해서만 알아보겠습니다.

$$P(A∩B)=P(A|B)P(B)$$

 

사실 $P( A | B )$의 정의가 $P( A ∩ B ) / P( B )$이므로

수식적으로는 당연하다고 볼 수 있습니다.

 

 

의미를 살펴볼까요?

 

$P( A ∩ B )$는 $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률

 

$P( B )$는 $B$가 일어날 확률

 

그리고 $P ( A | B )$는 $B$가 일어났다는 조건에서 $A$가 일어날 확률입니다.

 

 

즉 위의 식을 풀어서 적어보면

 

"$A$와 $B$가 동시에 일어날 확률 $P( A ∩ B )$"이

 

"$B$가 일어날 확률 $P( B )$"에

 

"$B$가 일어난 상태에서 $A$가 일어날 확률 $P ( A | B )$"을 곱한것과 같다는 것입니다.

 

 

여기서

 

"$B$가 일어난 상태에서 $A$가 일어날 확률"을 살펴보겠습니다.

 

 

조건부확률 포스팅에서 설명하였듯이

 

"$B$가 일어난 상태" 라는 것은 $B$를 전체로 본다는 뜻입니다.

 

 

즉 "$B$가 일어난 상태에서 $A$가 일어날 확률"이라는 것은

 

$B$를 전체로 보고 그 안에서 $A$가 일어날 확률이라는 것이죠

 

그림으로 설명하자면 아래 그림에서 $B$를 나타내는 부분이 전체인 상태에서

 

$A ∩ B$가 일어날 확률이 되는것입니다.

 

 

 

 

 

원래 $A$와 $B$, 그리고 전체 $S$의 관계는 다음과 같습니다.

 

 

 

"$B$가 일어난 상태에서 $A$가 일어날 확률"의 의미가 그림에서 보이시나요?

 

 

편의를 위해 $A$, $B$, 전체가 일어날 확률이

그림에서 각각이 차지하는 면적의 넓이와 같다고 해봅시다

 

여기서 $P( A ∩ B )$는 전체의 넓이를 $1$이라고 했을때 $A ∩ B$의 넓이가 됩니다.

 

 

그리고 $P( A | B )$는?

 

$B$의 넓이를 $1$이라고 했을때 $A ∩ B$의 넓이가 됩니다.

 

 

$P( A | B )P( B )$는?

 

"$B$의 넓이를 $1$이라고 했을때 $A ∩ B$의 넓이" 곱하기 

"전체의 넓이를 $1$이라고 했을때 $B$의 넓이"가 됩니다.

 

 

즉 $B$의 넓이를 $1$에서 원래대로 (전체의 넓이를 $1$이라고 했을때의 넓이로) 줄인것이고

 

그러면서 $B$의 넓이를 $1$이라고 했을때 $A ∩ B$의 넓이도 원래대로 줄어들게 됩니다.

 

 

그래서

$$P(A∩B)=P(A|B)P(B)$$

가 성립하게 됩니다.