파티션과 확률의 관계 : 전체 확률의 법칙 (law of total probability)

 

 

전체 확률의 법칙은

한 사건의 확률을 표본공간의 파티션을 이용하여 표현 하는 방법을 말해줍니다.

 

 

$A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$가 표본공간 $S$의 파티션일때

 

위 식과 같이

 

$P( B ) = P( A_1 ∩ B ) + P( A_2 ∩ B ) + \cdots + P( A_n ∩ B )$라고 쓰는 경우도 있고

 

$P( A_k ∩ B ) = P( B | A_k )P( A_k ),~1 ≤ k ≤ n$임을 이용하여

 

$P( B ) = P( B | A_1 )P( A_1 ) + P( B | A_2 )P( A_2 ) + \cdots + P( B | A_n )P( A_n )$이라고

쓰는 경우도 있습니다.

 

 

 

$A_1,~A_2,~\cdots,~A_n$가 표본공간 $S$의 파티션이면

 

사건 $B$는 표본 집합 $S$의 부분집합이므로

 

$A_1 ∩ B,~A_2 ∩ B,~\cdots,~A_n ∩ B$가 $B$의 파티션을 이루게 됩니다.

 

     참고 : 파티션의 활용 : 부분집합의 파티션

 

 

 

따라서 $B = ( A_1 ∩ B ) ∪ ( A_2 ∩ B ) ∪ \cdots ∪ ( A_n ∩ B )$이 성립하므로

 

$P( B ) = P( ( A_1 ∩ B ) ∪ ( A_2 ∩ B ) ∪ \cdots ∪ ( A_n ∩ B ) )$가 되고

 

여기서 $A_1 ∩ B,~ A_2 ∩ B,~ \cdots, A_n ∩ B$는 pairwise disjoint하므로

 

$P( B ) = P( A_1 ∩ B ) + P( A_2 ∩ B ) + \cdots + P( A_n ∩ B )$가 됩니다.