확률적 독립 (independence)

 

                                        위 이미지는 확률적 독립과 상관이 없습니다. ^_^ 

 

 

 

확률에서 두 사건이 독립은

두 사건이 서로의 확률 값에 영향을 주지 않는다는 뜻입니다.

 

독립이라는건 보통 상관이 없다 혹은 영향이 없다는 것으로 생각할 수 있습니다.

 

예를들어 지민이가 동전을 하나 던지고 하이가 주사위를 하나 던졌을때

 

지민이가 던진 동전이 앞면이 나오든 뒷면이 나오든

 

하이가 던진 주사위가 뭐가 나올지에 영향을 미치지 않겠죠?

 

 

이 경우 직관적으로도 독립이고 확률적으로도 독립이라고 할 수 있습니다.

 

하지만 직관적으로는 영향이 있어 보임에도 불구하고 확률적으로는 독립인 경우가 있습니다.

 

예를들어보겠습니다.

 

 

주사위를 두번 던졌는데

 

두 주사위의 차이가 $3$인 경우와

 

첫번째 주사위가 $4$가 나오는 경우는 독립일까요?

 

 

두 경우는 상관 관계가 있어 보입니다.

 

두 주사위의 차이가 $3$인 경우는 몇가지 되지 않으므로

 

이 사실을 알고 있다는게 첫번째 주사위가 $4$일 확률에 영향을 미칠것 같이 보입니다.

 

 

하지만 이 경우 두 사건은 독립입니다.

 

의외죠? ?

 

 

이것은 우리가 개념적으로 가지고 있는 '독립이다'는 말의 의미와

 

수학적으로 정의되어있는 독립이 조금 다르기 때문입니다.

 

독립의 정의는 다음과 같습니다.

 

두 사건 (event) $A, B$가 다음을 만족할 때 확률적 독립이다.

 

$P( A ∩ B ) = P( A ) × P( B )$

 

또는 다음과 같이 정의하기도 한다.

 

$P( A | B ) = P( A )$

 

 

사실 $P( A | B ) = P( A ∩ B ) / P( B )$이기 때문에 두 정의는 같습니다.

 

즉 두 사건이 서로의 확률 값에 영향을 주지만 않는다면 독립이라는 것이죠

 

 

 

앞에서의 예를 한번 볼까요?

 

두 주사위의 차이가 $3$인 경우는 다음과 같이 $6$가지가 있습니다.

 

 

 

이 중 첫번째 주사위가 $4$인경우는 $1$가지 입니다.

 

즉 두 주사위의 차이가 $3$인 조건에서 첫번째 주사위가 $4$일 확률은 $1/6$이 되는것이죠

 

이 확률은 아무조건 없이 첫번째 주사위가 $4$일 확률인 $1/6$과 같으므로

두 사건은 독립이 됩니다.

 

 

 

두 사건이 확률적으로 독립인것을 보일고 싶을땐

 

위의 정의에 맞춰서 확률값이 서로 영향을 주지 않는다는것만 보여주면 됩니다.

 

여기서 직관적인 의미의 독립과 구분하기 위해 확률적 독립이라고 썼는데

 

보통 "확률적"을 생략하고 씁니다.